UNA MIRADA A LA TEORIA DE CONJUNTOS

11/29/2010

IDEA DE CONJUNTO

La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento.

Georg Cantor

A propósito de la noción de conjunto, Dedekind dijo que se los imaginaba como un saco cerrado que contiene cosas... de las que no sabemos nada fuera de que existen y son totalmente determinadas. Algún tiempo después, Cantor dio a conocer su idea de conjunto: elevó su colosal figura, describió con el brazo erguido un gesto soberbio, y dijo con la mirada perdida: 'Me imagino un conjunto como un abismo'.

Felix Bernstein, citado en las Obras Completas de Richard Dedekind

11/26/2010

DETERMINACION DE CONJUNTOS

Hay dos formas de determinar conjuntos.

ó Forma Tabular

Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

A = { a, e, i, o, u }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

C = { c,

, j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

ó Forma Constructiva

Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

A = { x/x es una vocal }

B = { x/x es un número par menor que 10 }

C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }

Vamos a mostrarte un cuadro comparativo de determinación de conjuntos


A = { a, e, i, o, u }		A = { x/x es una vocal }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }		B = { x/x es un número par menor que 10 }
C = { c, , , j, u, t, s }		C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
D = { 1, 3, 5, 7, 9 }		D = { x/x es un número impar menor que 10 }
E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . }		E = { x/x es una consonante }

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Sean $~A$ y $~B$ dos conjuntos.

[editar] Unión $\cup$

Diagrama de Venn que ilustra $A\cup B$

Para cada par de conjuntos

A

B

existe un conjunto Unión de los dos, que se denota como $A\cup B$ el cual contiene todos los elementos de

A

y de

B

. De manera más general, para cada conjunto

S

existe otro conjunto denotado como $\bigcup S$ de manera que sus elementos son todos los $x\in X$ tales que $X\in S$ . De esta manera $A\cup B$ es el caso especial donde $S=\{A,B~\}$ .
Es claro que el hecho de que un elemento

x

pertenezca a $A\cup B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que

x

es un elemento de

A

o al menos de

B

. Es decir

$x\in(A\cup B)\iff(x\in A)\vee(x\in B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= \{\triangle, \bigcirc, 6\}$

$~B= \{\star, 6, \dagger, \square\}$

$~C= \{\square, 14, \star, \clubsuit\}$

$~S=\{A,B,C\}$

Entonces

$A\cup B = \{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square\}$

$A\cup C = \{\triangle,\bigcirc,6,\square,14,\star,\clubsuit\}$

$\bigcup S=\{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square,14,\clubsuit\}$

$~A \cup \emptyset= A$

$~A \cup A = A$

[editar] Intersección ∩

Diagrama de Venn que ilustra $A\cap B$

Los elementos comunes a $~A$ y $~B$ forman un conjunto denominado intersección de $~A$ y $~B$ , representado por $A\cap B$ . Es decir, $A\cap B$ es el conjunto que contiene a todos los elementos de

A

que al mismo tiempo están en

B

$A\cap B = \{x\in A:x\in B\}$ .

Si dos conjuntos $~A$ y $~B$ son tales que $A\cap B =\emptyset$ , entonces $~A$ y $~B$ se dice que son conjuntos disjuntos.
Es claro que el hecho de que $x\in A\cap B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que $x\in A$ y $x\in B$ . Es decir

$x\in(A\cap B)\iff (x\in A)\wedge(x\in B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= \{2, 4, 6\}$

$~B= \{4, 6, 8, 10\}$

$~C= \{10, 14, 16, 26\}$

Entonces:

$A\cap B = \{4,6\}$

$A\cap C = \emptyset$

$A\cap \emptyset = \emptyset$

$A\cap A = A$

[editar] Particiones

Dado un conjunto

A

y una serie de subconjuntos

A i

, se dice que

A i

son particiones de

A

cuando la unión de todas es el conjunto

A

, y la intersección de todas es el conjunto vacío. Es decir, que los subconjuntos

A i

, forman parte del conjunto mas grande denotado

A

[editar] Diferencia

Diagrama de Venn que muestra

A - B

Diagrama de Venn que muestra

B - A

Los elementos de un conjunto $~A$ que no se encuentran en otro conjunto $~B$ , forman otro conjunto llamado diferencia de $~A$ y $~B$ , representado por $~A\setminus B$ . Es decir:

$A\setminus B= \{x\in A:x\notin B\}$ .

o dicho de otra manera:

$x\in(A\setminus B)\iff (x\in A) \wedge (x\notin B)$

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de $A~$ y $B~$ como $A-B~$ .
Una propiedad interesante de la diferencia es que

$A\cap B=A\setminus(A\setminus B)$

eso es porque

$\begin{array}{rcl} x\in A\cap B & \iff & (x\in A) \wedge (x\in B)\\ &\iff& (x\in A) \wedge (x\notin A\setminus B)\\ &\iff& x\in A\setminus (A\setminus B) \end{array}$

Ejemplos: Sin importar cual conjunto

A

elija usted, siempre se cumple

$A\setminus\emptyset = A$

$\emptyset\setminus A = \emptyset$

$\{0,1,2,3\}\setminus\{3,2\}=\{0,1\}$

[editar] Complemento

El complemento de un conjunto

A

, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto

U

pero no pertenecen a

A

, que lo representaremos por $A^\complement$ . Es decir

$A^\complement=U\setminus A$

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.
En vista de que $A\subseteq U$ y $B\subseteq U$ , entonces

$x\in \left (A\setminus B\right) \iff x\in \left(A\cap B^\complement\right)$ ,

de manera que

$A\setminus B=A\cap B^\complement$

Pero también

$\begin{array}{rcl} x\in \left (A\cap B^\complement\right ) & \iff & x\in A \wedge x\in B^\complement \\ &\iff& x\in B^\complement \wedge \ x\in A\\ &\iff& x\in B^\complement \wedge x\notin A^\complement\\ &\iff& x \in\left (B^\complement\setminus A^\complement\right) \end{array}$

de modo que

$~A\setminus B = \left (B^\complement\setminus A^\complement\right)$

[editar] Diferencia simétrica

Los elementos de dos conjuntos A y B, a excepción de aquellos elementos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos, se define la diferencia simétrica.

$B\Delta A = \left (B\setminus A\right )\cup\left (A\setminus B\right )$

Los elementos de dos conjuntos A , B y C , a excepción de aquellos elementos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos.